Contoh soal dimensi 3 dan pembahasan kelas 11

Memahami Dimensi Tiga: Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap untuk Kelas 11

Pendahuluan

Geometri dimensi tiga, atau sering disebut geometri ruang, adalah cabang matematika yang mempelajari objek-objek dalam ruang tiga dimensi. Berbeda dengan geometri datar yang hanya berurusan dengan panjang dan lebar, geometri ruang menambahkan dimensi kedalaman. Konsep-konsep seperti titik, garis, dan bidang tidak lagi hanya pada satu "lembar" kertas, melainkan dalam ruang yang memiliki volume.

Mempelajari dimensi tiga sangat penting karena banyak objek di dunia nyata yang berbentuk tiga dimensi, mulai dari bangunan, benda-benda sehari-hari, hingga struktur molekul. Dalam konteks Kurikulum 2013 untuk kelas 11, materi dimensi tiga biasanya mencakup konsep jarak (antar titik, titik ke garis, titik ke bidang) dan sudut (antar garis, garis ke bidang, bidang ke bidang).

Artikel ini akan membahas beberapa contoh soal dimensi tiga yang umum ditemukan di kelas 11, dilengkapi dengan pembahasan langkah demi langkah yang detail. Kita akan fokus pada bangun ruang yang paling sering digunakan, yaitu kubus, karena kesimetrisannya memudahkan visualisasi dan perhitungan.

Konsep Dasar yang Perlu Dikuasai

Sebelum masuk ke contoh soal, mari kita ingat kembali beberapa konsep dasar yang akan sering kita gunakan:

1. Teorema Pythagoras: Sangat fundamental dalam menghitung jarak pada segitiga siku-siku. Jika sisi-sisi siku-siku adalah $a$ dan $b$, serta sisi miring adalah $c$, maka $a^2 + b^2 = c^2$.
2. Trigonometri: Konsep sinus (sin), kosinus (cos), dan tangen (tan) akan digunakan untuk menghitung sudut. Ingat kembali definisi:
   • $sin theta = fractextsisi depantextsisi miring$
   • $cos theta = fractextsisi sampingtextsisi miring$
   • $tan theta = fractextsisi depantextsisi samping$
3. Proyeksi: Proyeksi adalah "bayangan" suatu objek pada bidang atau garis. Konsep proyeksi sangat penting dalam menentukan jarak titik ke garis/bidang dan sudut garis ke bidang.
4. Sifat-sifat Bangun Ruang: Pahami sifat-sifat kubus, seperti semua rusuk sama panjang, semua sisi berbentuk persegi, diagonal bidang (sisi) sama panjang, dan diagonal ruang sama panjang.

Mari kita mulai dengan contoh soal!

Contoh Soal 1: Jarak Antar Titik (Diagonal Ruang)

Soal:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik A ke titik G.

Pembahasan:

1. Visualisasi: Bayangkan kubus ABCD.EFGH. Titik A adalah salah satu sudut bawah depan, dan G adalah sudut atas belakang yang berseberangan secara diagonal melalui ruang kubus. Jarak A ke G disebut diagonal ruang.

2. Strategi: Untuk mencari jarak AG, kita bisa menggunakan Teorema Pythagoras dua kali. Pertama, cari panjang diagonal bidang AC. Kedua, gunakan AC dan CG untuk mencari AG.

3. Langkah-langkah Perhitungan:

   • Langkah 1: Cari panjang diagonal bidang AC.
     Perhatikan segitiga siku-siku ABC (siku-siku di B).
     Panjang AB = 6 cm (rusuk kubus).
     Panjang BC = 6 cm (rusuk kubus).
     Menurut Teorema Pythagoras:
     $AC^2 = AB^2 + BC^2$
     $AC^2 = 6^2 + 6^2$
     $AC^2 = 36 + 36$
     $AC^2 = 72$
     $AC = sqrt72 = sqrt36 times 2 = 6sqrt2$ cm.

   • Langkah 2: Cari panjang diagonal ruang AG.
     Perhatikan segitiga siku-siku ACG (siku-siku di C).
     Panjang AC = $6sqrt2$ cm (dari Langkah 1).
     Panjang CG = 6 cm (rusuk kubus).
     Menurut Teorema Pythagoras:
     $AG^2 = AC^2 + CG^2$
     $AG^2 = (6sqrt2)^2 + 6^2$
     $AG^2 = (36 times 2) + 36$
     $AG^2 = 72 + 36$
     $AG^2 = 108$
     $AG = sqrt108 = sqrt36 times 3 = 6sqrt3$ cm.

Kesimpulan: Jarak titik A ke titik G adalah $6sqrt3$ cm.
(Catatan: Secara umum, untuk kubus dengan rusuk $s$, panjang diagonal bidang adalah $ssqrt2$ dan panjang diagonal ruang adalah $ssqrt3$.)

Contoh Soal 2: Jarak Titik ke Garis

Soal:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik A ke garis CE.

Pembahasan:

1. Visualisasi: Kita perlu mencari jarak terpendek dari titik A ke garis CE. Jarak terpendek ini selalu berupa garis tegak lurus dari A ke garis CE. Misalkan titik proyeksi A pada garis CE adalah P, maka AP adalah jarak yang dicari.

2. Strategi: Perhatikan segitiga ACE. Kita tahu panjang ketiga sisinya:

   • AC adalah diagonal bidang = $8sqrt2$ cm.
   • AE adalah rusuk = 8 cm.
   • CE adalah diagonal ruang = $8sqrt3$ cm.
     Kita bisa menggunakan rumus luas segitiga untuk mencari tinggi (jarak AP). Luas segitiga ACE dapat dihitung dengan alas AE dan tinggi AC (jika kita anggap AE sebagai alas, karena AC tegak lurus AE di A, tapi ini salah, karena segitiga ACE bukan siku-siku di A).
     Lebih tepatnya, kita bisa menggunakan rumus luas segitiga $L = frac12 times textalas times texttinggi$ dengan dua cara:
   • $L = frac12 times CE times AP$
   • Kita perlu mencari luas segitiga ACE dengan cara lain.

   Alternatif lain adalah menggunakan aturan kosinus atau mencari titik P secara geometris. Cara yang paling umum adalah dengan mencari cosinus salah satu sudut, misalnya $angle AEC$, lalu gunakan trigonometri untuk mencari AP.

3. Langkah-langkah Perhitungan:

   • Langkah 1: Tentukan panjang sisi-sisi segitiga ACE.

     • AE = 8 cm (rusuk)
     • AC = $8sqrt2$ cm (diagonal bidang)
     • CE = $8sqrt3$ cm (diagonal ruang)

   • Langkah 2: Gunakan konsep luas segitiga.
     Kita bisa mencari luas segitiga ACE dengan menganggap AE sebagai alas dan AC sebagai tinggi, jika kita "putar" pandangan kita. Namun, segitiga ACE tidak siku-siku di A, C, atau E.
     Mari kita coba cara lain: Proyeksikan A ke garis CE. Misalkan titik proyeksi adalah P. Maka AP adalah jarak yang dicari.
     Pertimbangkan segitiga siku-siku yang terbentuk. Ini agak sulit.

     Cara yang lebih efektif:
     Perhatikan segitiga ACE. Luasnya bisa dicari dengan rumus Heron jika kita tahu ketiga sisinya, atau dengan mencari tinggi dari E ke AC (misal EQ) atau dari C ke AE (CA itu sendiri karena AE tegak lurus AC) atau dari A ke CE (AP).

     Mari kita gunakan konsep proyeksi dan kesebangunan atau perbandingan luas.
     Perhatikan segitiga ACE. Misalkan $angle AEC = alpha$.
     Pada segitiga APE (siku-siku di P): $sin alpha = fracAPAE$.
     Jadi, $AP = AE sin alpha$.

     Kita perlu mencari nilai $sin alpha$.
     Gunakan Aturan Kosinus pada $triangle ACE$ untuk mencari $cos alpha$:
     $AC^2 = AE^2 + CE^2 – 2 cdot AE cdot CE cdot cos alpha$
     $(8sqrt2)^2 = 8^2 + (8sqrt3)^2 – 2 cdot 8 cdot 8sqrt3 cdot cos alpha$
     $128 = 64 + 192 – 128sqrt3 cos alpha$
     $128 = 256 – 128sqrt3 cos alpha$
     $128sqrt3 cos alpha = 256 – 128$
     $128sqrt3 cos alpha = 128$
     $cos alpha = frac128128sqrt3 = frac1sqrt3 = fracsqrt33$

     Sekarang cari $sin alpha$:
     $sin^2 alpha = 1 – cos^2 alpha = 1 – left(fracsqrt33right)^2 = 1 – frac39 = 1 – frac13 = frac23$
     $sin alpha = sqrtfrac23 = fracsqrt2sqrt3 = fracsqrt63$

     Terakhir, hitung AP:
     $AP = AE sin alpha = 8 cdot fracsqrt63 = frac8sqrt63$ cm.

Kesimpulan: Jarak titik A ke garis CE adalah $frac8sqrt63$ cm.
(Catatan: Soal jarak titik ke garis seringkali melibatkan perhitungan yang lebih kompleks seperti ini, atau menggunakan sifat-sifat khusus jika garis dan titiknya membentuk segitiga siku-siku tertentu.)

Contoh Soal 3: Jarak Titik ke Bidang

Soal:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Tentukan jarak titik A ke bidang BDG.

Pembahasan:

1. Visualisasi: Titik A adalah sudut bawah depan. Bidang BDG adalah bidang yang melalui titik B, D, dan G. Bidang ini membentuk segitiga sama sisi BDG.

2. Strategi: Jarak titik ke bidang adalah panjang garis tegak lurus dari titik tersebut ke bidang. Pada kubus, jarak dari titik sudut ke bidang diagonal yang tidak memuat titik tersebut memiliki pola khusus.
   Perhatikan diagonal ruang AG. Diagonal ruang AG akan menembus bidang BDG di suatu titik (misalnya P). Titik P ini adalah titik berat segitiga BDG. Jarak AP adalah jarak yang dicari.
   Secara umum, untuk kubus dengan rusuk $s$, jarak dari titik sudut ke bidang diagonal yang tidak memuat titik tersebut adalah $frac13 times textdiagonal ruang$.

3. Langkah-langkah Perhitungan:

   • Langkah 1: Cari panjang diagonal ruang AG.
     Panjang rusuk $s = 12$ cm.
     Diagonal ruang $AG = ssqrt3 = 12sqrt3$ cm.

   • Langkah 2: Tentukan jarak titik A ke bidang BDG.
     Berdasarkan sifat kubus, garis AG tegak lurus dengan bidang BDG dan memotong bidang BDG pada titik P. Titik P ini membagi diagonal ruang AG menjadi rasio 1:2 dari A ke P dan P ke G.
     Jadi, $AP = frac13 AG$.
     $AP = frac13 (12sqrt3)$
     $AP = 4sqrt3$ cm.

Kesimpulan: Jarak titik A ke bidang BDG adalah $4sqrt3$ cm.
(Catatan: Cara lain bisa dengan menggunakan volume limas. Volume limas A.BDG dapat dihitung dengan dua cara: $frac13 times textLuas alas (ABD) times texttinggi (AD)$ atau $frac13 times textLuas alas (BDG) times texttinggi (jarak AP)$. Namun, cara ini lebih kompleks karena harus menghitung luas segitiga BDG terlebih dahulu.)

Contoh Soal 4: Sudut Antar Garis

Soal:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $a$ cm. Tentukan besar sudut antara garis AH dan garis BG.

Pembahasan:

1. Visualisasi: Garis AH adalah diagonal bidang ADHE. Garis BG adalah diagonal bidang BCGF. Kedua garis ini adalah garis bersilangan (tidak sejajar dan tidak berpotongan).

2. Strategi: Untuk mencari sudut antara dua garis bersilangan, kita perlu menggeser salah satu garis (atau keduanya) sehingga keduanya berpotongan pada satu titik, tanpa mengubah arahnya.

   • Garis AH berada pada bidang ADHE.
   • Garis BG berada pada bidang BCGF.
     Kita bisa menggeser garis BG ke garis AF. Mengapa AF? Karena AF sejajar dengan BG (karena ABGF adalah persegi panjang, atau lebih tepatnya ABFE dan DCGH adalah persegi, sehingga AF sejajar BG).

3. Langkah-langkah Perhitungan:

   • Langkah 1: Geser garis BG ke AF.
     Sekarang kita mencari sudut antara garis AH dan garis AF. Kedua garis ini berpotongan di titik A.

   • Langkah 2: Perhatikan segitiga AFH.

     • AH adalah diagonal bidang = $asqrt2$
     • AF adalah diagonal bidang = $asqrt2$
     • FH adalah diagonal bidang = $asqrt2$
       Karena ketiga sisinya sama panjang ($asqrt2$), maka segitiga AFH adalah segitiga sama sisi.

   • Langkah 3: Tentukan besar sudutnya.
     Dalam segitiga sama sisi, semua sudutnya adalah $60^circ$.
     Jadi, $angle HAF = 60^circ$.

Kesimpulan: Besar sudut antara garis AH dan garis BG adalah $60^circ$.

Contoh Soal 5: Sudut Garis ke Bidang

Soal:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk $10$ cm. Tentukan besar sudut antara garis AG dan bidang ABCD.

Pembahasan:

1. Visualisasi: Garis AG adalah diagonal ruang. Bidang ABCD adalah alas kubus.

2. Strategi: Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis itu sendiri dengan proyeksinya pada bidang. Proyeksi garis AG pada bidang ABCD adalah garis AC.
   Jadi, sudut yang dicari adalah $angle GAC$.

3. Langkah-langkah Perhitungan:

   • Langkah 1: Identifikasi garis dan proyeksinya.
     Garis AG.
     Proyeksi AG pada bidang ABCD adalah AC.
     Sudut yang dicari adalah $angle GAC$.

   • Langkah 2: Bentuk segitiga siku-siku.
     Perhatikan segitiga siku-siku ACG (siku-siku di C).

     • Panjang AC (diagonal bidang) = $10sqrt2$ cm.
     • Panjang CG (rusuk) = 10 cm.
     • Panjang AG (diagonal ruang) = $10sqrt3$ cm.

   • Langkah 3: Gunakan trigonometri untuk mencari sudut.
     Misalkan $theta = angle GAC$.
     Kita bisa menggunakan fungsi tangen, sinus, atau kosinus.
     $tan theta = fractextsisi depantextsisi samping = fracCGAC$
     $tan theta = frac1010sqrt2 = frac1sqrt2 = fracsqrt22$

     Untuk mencari nilai $theta$:
     $theta = arctanleft(fracsqrt22right)$
     Nilai ini tidak bulat, biarkan dalam bentuk $arctan$.

Kesimpulan: Besar sudut antara garis AG dan bidang ABCD adalah $arctanleft(fracsqrt22right)$.
(Jika diinginkan dalam bentuk desimal, $fracsqrt22 approx 0.707$, sehingga $theta approx 35.26^circ$)

Contoh Soal 6: Sudut Antar Bidang

Soal:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan besar sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD.

Pembahasan:

1. Visualisasi: Bidang BDG adalah bidang diagonal yang melewati B, D, G. Bidang ABCD adalah alas kubus.

2. Strategi: Sudut antara dua bidang adalah sudut antara dua garis yang tegak lurus terhadap garis persekutuan kedua bidang tersebut, dan berpotongan di garis persekutuan itu.

   • Garis persekutuan (garis potong) antara bidang BDG dan bidang ABCD adalah garis BD.
   • Kita perlu mencari sebuah titik pada garis BD, lalu menarik garis dari titik tersebut di masing-masing bidang yang tegak lurus BD.

3. Langkah-langkah Perhitungan:

   • Langkah 1: Tentukan garis persekutuan.
     Garis persekutuan antara bidang BDG dan ABCD adalah BD.

   • Langkah 2: Cari titik tengah BD.
     Misalkan M adalah titik tengah BD.
     Pada bidang ABCD, garis AM tegak lurus BD (karena ABCD persegi dan AM adalah setengah diagonal AC).
     Pada bidang BDG, garis GM juga tegak lurus BD (karena BDG adalah segitiga sama sisi dan GM adalah garis tinggi).
     Jadi, sudut antara bidang BDG dan ABCD adalah sudut antara garis AM dan GM, yaitu $angle GMA$.

   • Langkah 3: Bentuk segitiga siku-siku dan hitung panjang sisi-sisinya.
     Perhatikan segitiga siku-siku AMG (siku-siku di A).

     • Panjang AM = $frac12 times AC = frac12 times (6sqrt2) = 3sqrt2$ cm.
     • Panjang AG (rusuk tegak) = 6 cm.
     • Panjang GM (sisi miring) dapat dicari dengan Pythagoras:
       $GM^2 = AM^2 + AG^2$
       $GM^2 = (3sqrt2)^2 + 6^2$
       $GM^2 = 18 + 36 = 54$
       $GM = sqrt54 = sqrt9 times 6 = 3sqrt6$ cm.

   • Langkah 4: Gunakan trigonometri untuk mencari sudut.
     Misalkan $theta = angle GMA$.
     Kita bisa menggunakan fungsi tangen, sinus, atau kosinus.
     $tan theta = fractextsisi depantextsisi samping = fracAGAM$
     $tan theta = frac63sqrt2 = frac2sqrt2 = frac2sqrt22 = sqrt2$

     Untuk mencari nilai $theta$:
     $theta = arctan(sqrt2)$
     Nilai ini tidak bulat, biarkan dalam bentuk $arctan$.

Kesimpulan: Besar sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD adalah $arctan(sqrt2)$.
(Jika diinginkan dalam bentuk desimal, $sqrt2 approx 1.414$, sehingga $theta approx 54.74^circ$)

Tips Sukses Mengerjakan Soal Dimensi Tiga

1. Visualisasi adalah Kunci: Selalu usahakan untuk membayangkan bangun ruang yang dimaksud. Jika perlu, buat sketsa kasar atau gunakan model 3D (misalnya, kotak pensil atau kardus) untuk membantu memahami posisi titik, garis, dan bidang.
2. Identifikasi Segitiga Siku-siku: Banyak masalah dimensi tiga dapat diselesaikan dengan "memotong" bangun ruang menjadi segitiga-segitiga siku-siku di dalamnya. Teorema Pythagoras adalah sahabat terbaik Anda.
3. Gunakan Proyeksi: Pahami konsep proyeksi. Jarak titik ke garis/bidang, atau sudut garis ke bidang, selalu melibatkan proyeksi.
4. Manfaatkan Sifat Bangun Ruang: Kubus, balok, limas, dan prisma memiliki sifat-sifat unik. Kenali dan manfaatkan sifat-sifat ini (misalnya, semua rusuk kubus sama panjang, diagonal bidang, diagonal ruang, dll.).
5. Perhatikan Garis Persekutuan: Untuk sudut antar bidang, langkah pertama adalah menemukan garis persekutuan kedua bidang.
6. Latih Diri dengan Berbagai Soal: Semakin banyak Anda berlatih, semakin mudah Anda akan mengenali pola dan strategi penyelesaian yang tepat.

Penutup

Geometri dimensi tiga mungkin tampak menantang pada awalnya karena membutuhkan kemampuan visualisasi yang kuat. Namun, dengan pemahaman konsep dasar, latihan yang konsisten, dan strategi yang tepat, Anda akan dapat menguasai materi ini. Ingatlah bahwa setiap masalah dapat dipecah menjadi langkah-langkah yang lebih kecil dan lebih mudah ditangani, seringkali melibatkan penerapan Teorema Pythagoras dan prinsip-prinsip trigonometri. Teruslah berlatih, dan Anda akan melihat peningkatan yang signifikan dalam pemahaman dan kemampuan Anda.