Kumpulan 25 Soal Matematika Kelas 10 Semester 1 dan Pembahasannya: Panduan Lengkap untuk Sukses Belajar!

Kumpulan 25 Soal Matematika Kelas 10 Semester 1 dan Pembahasannya: Panduan Lengkap untuk Sukses Belajar!

Matematika di kelas 10 semester 1 merupakan fondasi penting untuk pemahaman konsep-konsep yang lebih kompleks di jenjang berikutnya. Materi yang diajarkan mencakup berbagai topik fundamental seperti eksponen, logaritma, persamaan kuadrat, fungsi, sistem persamaan linear tiga variabel, hingga pertidaksamaan. Penguasaan materi ini tidak hanya membutuhkan pemahaman konsep, tetapi juga latihan soal yang konsisten dan terstruktur.

Artikel ini menyajikan 25 contoh soal matematika kelas 10 semester 1, lengkap dengan penyelesaian langkah demi langkah. Soal-soal ini dirancang untuk mencakup berbagai materi esensial dan tingkat kesulitan, mulai dari yang dasar hingga yang memerlukan pemikiran analitis lebih dalam. Harapannya, artikel ini dapat menjadi panduan belajar yang efektif bagi para siswa dalam mempersiapkan diri menghadapi ulangan harian, ujian tengah semester, maupun ujian akhir semester.

Mari kita mulai petualangan kita dalam menaklukkan matematika kelas 10!

I. Eksponen dan Bentuk Akar

1. Soal: Sederhanakan bentuk $(2a^3b^-2)^3 / (a^-1b^2)$.

Penyelesaian:
Kita gunakan sifat-sifat eksponen: $(x^m)^n = x^mn$, $x^m cdot x^n = x^m+n$, $x^m / x^n = x^m-n$, dan $x^-n = 1/x^n$.

$(2a^3b^-2)^3 / (a^-1b^2)$
$= (2^3 cdot (a^3)^3 cdot (b^-2)^3) / (a^-1b^2)$
$= (8 cdot a^3 cdot 3 cdot b^-2 cdot 3) / (a^-1b^2)$
$= (8a^9b^-6) / (a^-1b^2)$
$= 8 cdot a^9 – (-1) cdot b^-6 – 2$
$= 8 cdot a^9+1 cdot b^-8$
$= 8a^10b^-8$
$= frac8a^10b^8$

2. Soal: Rasionalkan penyebut dari $frac63-sqrt3$.

Penyelesaian:
Untuk merasionalkan penyebut, kita kalikan dengan bentuk sekawannya. Bentuk sekawan dari $3-sqrt3$ adalah $3+sqrt3$.

$frac63-sqrt3 = frac63-sqrt3 times frac3+sqrt33+sqrt3$
$= frac6(3+sqrt3)3^2 – (sqrt3)^2$
$= frac18+6sqrt39-3$
$= frac18+6sqrt36$
$= frac186 + frac6sqrt36$
$= 3 + sqrt3$

3. Soal: Sederhanakan bentuk $3sqrt2 + sqrt8 – sqrt18$.

Penyelesaian:
Kita sederhanakan akar-akar yang ada dengan mencari faktor kuadrat terbesarnya.
$sqrt8 = sqrt4 cdot 2 = sqrt4 cdot sqrt2 = 2sqrt2$
$sqrt18 = sqrt9 cdot 2 = sqrt9 cdot sqrt2 = 3sqrt2$

Maka,
$3sqrt2 + sqrt8 – sqrt18 = 3sqrt2 + 2sqrt2 – 3sqrt2$
$= (3+2-3)sqrt2$
$= 2sqrt2$

II. Logaritma

4. Soal: Jika $^2log 3 = a$, nyatakan $^2log 24$ dalam $a$.

Penyelesaian:
Kita gunakan sifat logaritma $^blog(xy) = ^blog x + ^blog y$ dan $^blog b^n = n$.
$^2log 24 = ^2log (8 cdot 3)$
$= ^2log 8 + ^2log 3$
$= ^2log 2^3 + ^2log 3$
$= 3 + ^2log 3$
Karena $^2log 3 = a$, maka
$= 3+a$

5. Soal: Hitunglah nilai dari $^2log 4 + ^2log 12 – ^2log 6$.

Penyelesaian:
Kita gunakan sifat logaritma $^blog x + ^blog y = ^blog(xy)$ dan $^blog x – ^blog y = ^blog(x/y)$.
$^2log 4 + ^2log 12 – ^2log 6$
$= ^2log (4 cdot 12 / 6)$
$= ^2log (48 / 6)$
$= ^2log 8$
$= ^2log 2^3$
$= 3$

6. Soal: Tentukan nilai $x$ dari persamaan $^3log(2x-1) = ^3log 5$.

Penyelesaian:
Jika $^blog f(x) = ^blog g(x)$, maka $f(x) = g(x)$, dengan syarat $f(x) > 0$ dan $g(x) > 0$.
$2x-1 = 5$
$2x = 5+1$
$2x = 6$
$x = 3$

Cek syarat:
$2x-1 = 2(3)-1 = 6-1 = 5 > 0$. (Memenuhi syarat)
Jadi, nilai $x$ adalah 3.

III. Persamaan dan Fungsi Kuadrat

7. Soal: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat $x^2 – 5x + 6 = 0$ dengan cara faktorisasi.

Penyelesaian:
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 6 dan jika dijumlahkan hasilnya -5. Bilangan-bilangan tersebut adalah -2 dan -3.
Maka,
$x^2 – 5x + 6 = 0$
$(x-2)(x-3) = 0$
$x-2 = 0$ atau $x-3 = 0$
$x_1 = 2$ atau $x_2 = 3$
Jadi, akar-akarnya adalah 2 dan 3.

8. Soal: Gunakan rumus ABC untuk mencari akar-akar persamaan $2x^2 + 7x + 3 = 0$.

Penyelesaian:
Rumus ABC adalah $x_1,2 = frac-b pm sqrtb^2 – 4ac2a$.
Dari persamaan $2x^2 + 7x + 3 = 0$, kita punya $a=2$, $b=7$, $c=3$.

$x1,2 = frac-7 pm sqrt7^2 – 4(2)(3)2(2)$
$x1,2 = frac-7 pm sqrt49 – 244$
$x1,2 = frac-7 pm sqrt254$
$x1,2 = frac-7 pm 54$

Untuk $x_1$:
$x_1 = frac-7 + 54 = frac-24 = -frac12$

Untuk $x_2$:
$x_2 = frac-7 – 54 = frac-124 = -3$
Jadi, akar-akarnya adalah $-frac12$ dan $-3$.

9. Soal: Tentukan jenis akar-akar dari persamaan kuadrat $x^2 – 4x + 4 = 0$.

Penyelesaian:
Jenis akar ditentukan oleh nilai diskriminan $D = b^2 – 4ac$.
Dari persamaan $x^2 – 4x + 4 = 0$, kita punya $a=1$, $b=-4$, $c=4$.

$D = (-4)^2 – 4(1)(4)$
$D = 16 – 16$
$D = 0$

Karena $D=0$, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar real yang kembar (sama).

10. Soal: Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari persamaan $x^2 – 3x + 2 = 0$, tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_1+2$ dan $x_2+2$.

Penyelesaian:
Dari $x^2 – 3x + 2 = 0$, kita tahu:
$x_1 + x_2 = -b/a = -(-3)/1 = 3$
$x_1 cdot x_2 = c/a = 2/1 = 2$

Misalkan akar-akar baru adalah $p = x_1+2$ dan $q = x_2+2$.
Jumlah akar baru:
$p+q = (x_1+2) + (x_2+2) = x_1+x_2+4 = 3+4 = 7$

Hasil kali akar baru:
$p cdot q = (x_1+2)(x_2+2) = x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 4$
$= x_1x_2 + 2(x_1+x_2) + 4$
$= 2 + 2(3) + 4$
$= 2 + 6 + 4 = 12$

Persamaan kuadrat baru adalah $x^2 – (p+q)x + (p cdot q) = 0$.
$x^2 – 7x + 12 = 0$.

11. Soal: Tentukan koordinat titik puncak dari fungsi kuadrat $f(x) = x^2 – 6x + 5$.

Penyelesaian:
Koordinat titik puncak $(x_p, y_p)$ dapat dicari dengan rumus $x_p = -b/(2a)$ dan $y_p = f(x_p)$ atau $y_p = -(D)/(4a)$.
Dari $f(x) = x^2 – 6x + 5$, kita punya $a=1$, $b=-6$, $c=5$.

$x_p = frac-(-6)2(1) = frac62 = 3$

Substitusikan $x_p=3$ ke dalam fungsi untuk mencari $y_p$:
$y_p = f(3) = (3)^2 – 6(3) + 5$
$y_p = 9 – 18 + 5$
$y_p = -9 + 5 = -4$
Jadi, koordinat titik puncaknya adalah $(3, -4)$.

12. Soal: Tentukan titik potong sumbu-x dari fungsi $f(x) = x^2 – 4x – 5$.

Penyelesaian:
Titik potong sumbu-x terjadi ketika $f(x) = 0$.
$x^2 – 4x – 5 = 0$
Kita faktorkan persamaan ini:
$(x-5)(x+1) = 0$
$x-5 = 0$ atau $x+1 = 0$
$x_1 = 5$ atau $x_2 = -1$
Jadi, titik potong sumbu-x adalah $(5, 0)$ dan $(-1, 0)$.

IV. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

13. Soal: Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut:
1) $x+y+z = 6$
2) $2x-y+z = 3$
3) $3x+2y-z = 8$

Penyelesaian:
Langkah 1: Eliminasi $y$ dari persamaan (1) dan (2)
$(x+y+z) + (2x-y+z) = 6+3$
$3x+2z = 9$ (Persamaan 4)

Langkah 2: Eliminasi $y$ dari persamaan (2) dan (3)
Kalikan persamaan (2) dengan 2: $4x-2y+2z = 6$
Tambahkan dengan persamaan (3): $(4x-2y+2z) + (3x+2y-z) = 6+8$
$7x+z = 14$ (Persamaan 5)

Langkah 3: Eliminasi $z$ dari persamaan (4) dan (5)
Dari persamaan (5), kita dapatkan $z = 14-7x$.
Substitusikan $z$ ke persamaan (4):
$3x+2(14-7x) = 9$
$3x+28-14x = 9$
$-11x = 9-28$
$-11x = -19$
$x = frac1911$

Langkah 4: Cari nilai $z$ menggunakan $x = frac1911$ di persamaan (5)
$7(frac1911) + z = 14$
$frac13311 + z = 14$
$z = 14 – frac13311 = frac15411 – frac13311 = frac2111$

Langkah 5: Cari nilai $y$ menggunakan $x$ dan $z$ di persamaan (1)
$x+y+z = 6$
$frac1911 + y + frac2111 = 6$
$frac4011 + y = 6$
$y = 6 – frac4011 = frac6611 – frac4011 = frac2611$

Himpunan penyelesaiannya adalah $(frac1911, frac2611, frac2111)$.

14. Soal: Tiga toko buku A, B, dan C menjual paket alat tulis.
Toko A: 2 pensil, 1 pulpen, 3 buku = Rp 23.000
Toko B: 3 pensil, 2 pulpen, 1 buku = Rp 20.000
Toko C: 1 pensil, 3 pulpen, 2 buku = Rp 19.000
Berapakah harga 1 pensil, 1 pulpen, dan 1 buku?

Penyelesaian:
Misalkan harga 1 pensil = $x$, 1 pulpen = $y$, dan 1 buku = $z$.
Maka kita punya sistem persamaan:
1) $2x+y+3z = 23.000$
2) $3x+2y+z = 20.000$
3) $x+3y+2z = 19.000$

(Penyelesaian akan serupa dengan soal 13, namun angkanya lebih besar. Ini adalah contoh soal cerita yang mengarah ke SPLTV. Kita akan ringkas prosesnya):
Eliminasi y:
(1) x 2: $4x+2y+6z = 46.000$
(2) : $3x+2y+z = 20.000$
————————— (-)
$x+5z = 26.000$ (Persamaan 4)

(2) x 3: $9x+6y+3z = 60.000$
(3) x 2: $2x+6y+4z = 38.000$
————————— (-)
$7x-z = 22.000$ (Persamaan 5)

Eliminasi z:
Dari (5), $z = 7x – 22.000$. Substitusi ke (4):
$x+5(7x-22.000) = 26.000$
$x+35x-110.000 = 26.000$
$36x = 136.000$
$x = frac136.00036 = frac34.0009$ (Ini menunjukkan ada kemungkinan soal angkanya dibuat sederhana untuk ujian, atau hasil akhirnya pecahan. Mari kita asumsikan soal aslinya akan menghasilkan bilangan bulat atau pecahan sederhana).

Asumsi untuk penyelesaian yang lebih "bersih" (jika soal dirancang dengan angka bulat):
Misalkan kita punya angka lain yang lebih mudah. Jika kita asumsikan hasil akhirnya adalah:
Pensil = Rp 2.000
Pulpen = Rp 3.000
Buku = Rp 5.000
Maka:
Toko A: $2(2000)+1(3000)+3(5000) = 4000+3000+15000 = 22000$ (Bukan 23000)
Ini menunjukkan angka di soal asli mungkin tidak dirancang untuk hasil bulat. Namun, metode penyelesaiannya tetap sama. Kita akan lanjutkan dengan angka pecahan, karena ini adalah contoh proses.

$x = frac13600036 approx 3777.78$

Substitusi $x$ ke $z = 7x – 22.000$:
$z = 7(frac13600036) – 22.000 = frac95200036 – frac79200036 = frac16000036 = frac400009 approx 4444.44$

Substitusi $x$ dan $z$ ke $2x+y+3z = 23.000$:
$2(frac13600036) + y + 3(frac400009) = 23.000$
$frac27200036 + y + frac1200009 = 23.000$
$frac680009 + y + frac1200009 = 23.000$
$frac1880009 + y = 23.000$
$y = 23.000 – frac1880009 = frac2070009 – frac1880009 = frac190009 approx 2111.11$

Jadi, harga 1 pensil $approx Rp 3.777,78$, 1 pulpen $approx Rp 2.111,11$, dan 1 buku $approx Rp 4.444,44$. (Angka pecahan ini kurang realistis untuk soal harga barang, biasanya soal ujian memberikan angka yang bulat atau mudah disederhanakan).

V. Relasi dan Fungsi

15. Soal: Diketahui fungsi $f(x) = 2x+1$ dan $g(x) = x^2-3$. Tentukan $(f circ g)(x)$.

Penyelesaian:
$(f circ g)(x) = f(g(x))$
Substitusikan $g(x)$ ke dalam $f(x)$:
$f(g(x)) = f(x^2-3)$
$= 2(x^2-3) + 1$
$= 2x^2 – 6 + 1$
$= 2x^2 – 5$
Jadi, $(f circ g)(x) = 2x^2 – 5$.

16. Soal: Diketahui fungsi $f(x) = x-3$ dan $g(x) = x^2+2x$. Tentukan $(g circ f)(1)$.

Penyelesaian:
Ada dua cara:
Cara 1: Cari $(g circ f)(x)$ dulu, lalu substitusi $x=1$.
$(g circ f)(x) = g(f(x))$
$= g(x-3)$
$= (x-3)^2 + 2(x-3)$
$= (x^2 – 6x + 9) + (2x – 6)$
$= x^2 – 4x + 3$

Sekarang substitusi $x=1$:
$(g circ f)(1) = (1)^2 – 4(1) + 3$
$= 1 – 4 + 3 = 0$

Cara 2: Hitung $f(1)$ dulu, lalu substitusi hasilnya ke $g(x)$.
$f(1) = 1-3 = -2$
Kemudian, substitusi $-2$ ke $g(x)$:
$g(-2) = (-2)^2 + 2(-2)$
$= 4 – 4 = 0$
Jadi, $(g circ f)(1) = 0$.

17. Soal: Tentukan fungsi invers dari $f(x) = 3x-5$.

Penyelesaian:
Misalkan $y = f(x)$.
$y = 3x-5$
Tukar posisi $x$ dan $y$, lalu selesaikan untuk $y$:
$x = 3y-5$
$x+5 = 3y$
$y = fracx+53$
Jadi, $f^-1(x) = fracx+53$.

18. Soal: Tentukan fungsi invers dari $f(x) = frac2x+1x-3$, untuk $x ne 3$.

Penyelesaian:
Misalkan $y = f(x)$.
$y = frac2x+1x-3$
Tukar posisi $x$ dan $y$, lalu selesaikan untuk $y$:
$x = frac2y+1y-3$
$x(y-3) = 2y+1$
$xy – 3x = 2y+1$