Contoh soal diskriminam kelas 3.com sma

Menguak Rahasia Persamaan Kuadrat: Panduan Lengkap Diskriminan Beserta Contoh Soal untuk Siswa SMA

Matematika seringkali dianggap sebagai bahasa universal yang menjelaskan berbagai fenomena di alam semesta. Salah satu konsep fundamental dalam matematika, khususnya aljabar, adalah persamaan kuadrat. Persamaan ini tidak hanya muncul dalam soal-soal buku pelajaran, tetapi juga memiliki aplikasi luas dalam fisika (gerak parabola), ekonomi (fungsi permintaan dan penawaran), hingga rekayasa.

Namun, tidak semua persamaan kuadrat memiliki "solusi" atau "akar" yang sama. Ada yang memiliki dua solusi berbeda, ada yang hanya satu, dan ada pula yang tidak memiliki solusi nyata sama sekali. Lalu, bagaimana kita bisa mengetahui karakteristik akar-akar suatu persamaan kuadrat tanpa harus menyelesaikannya terlebih dahulu? Jawabannya terletak pada sebuah nilai ajaib yang disebut Diskriminan.

Dalam artikel ini, kita akan menyelami lebih dalam tentang apa itu diskriminan, mengapa ia begitu penting, bagaimana cara menghitungnya, dan yang terpenting, bagaimana mengaplikasikannya melalui berbagai contoh soal yang sering muncul di tingkat SMA. Mari kita mulai petualangan kita!

1. Apa Itu Persamaan Kuadrat? Mengingat Kembali Dasar

Sebelum kita melangkah lebih jauh ke diskriminan, mari kita segarkan kembali ingatan kita tentang persamaan kuadrat. Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berderajat dua, yang umumnya memiliki bentuk standar:

ax² + bx + c = 0

Di mana:

• x adalah variabel yang tidak diketahui.
• a, b, dan c adalah koefisien bilangan real, dengan syarat a ≠ 0. Jika a = 0, persamaan tersebut akan menjadi persamaan linear, bukan kuadrat.
• a adalah koefisien dari x² (kuadrat).
• b adalah koefisien dari x (linear).
• c adalah konstanta (suku bebas).

Contoh:

• 2x² + 5x + 3 = 0 (di sini a=2, b=5, c=3)
• x² - 4x = 0 (di sini a=1, b=-4, c=0)
• 3x² - 7 = 0 (di sini a=3, b=0, c=-7)

Mencari "akar-akar" atau "solusi" dari persamaan kuadrat berarti mencari nilai-nilai x yang membuat persamaan tersebut benar (yaitu, sama dengan nol). Ada beberapa metode untuk menemukan akar-akar ini, seperti pemfaktoran, melengkapi kuadrat sempurna, atau menggunakan rumus kuadrat (sering disebut rumus ABC).

2. Mengapa Diskriminan Penting? Jendela Menuju Akar-akar

Rumus kuadrat, atau rumus ABC, adalah alat yang sangat ampuh untuk menemukan akar-akar persamaan kuadrat:

x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a

Perhatikan bagian di bawah tanda akar kuadrat (√). Bagian ini, yaitu b² - 4ac, adalah jantung dari diskriminan. Mengapa? Karena nilai di bawah tanda akar kuadrat menentukan apakah hasil akar kuadrat tersebut akan menjadi bilangan real atau imajiner.

Inilah mengapa diskriminan sangat penting: ia memberikan kita informasi krusial tentang sifat atau jenis akar-akar dari suatu persamaan kuadrat, tanpa harus menghitung akar-akar itu sendiri. Ini sangat berguna dalam berbagai aplikasi dan soal ujian di mana Anda hanya perlu mengetahui "jenis" akarnya, bukan nilainya secara spesifik.

3. Definisi dan Rumus Diskriminan

Diskriminan dilambangkan dengan huruf kapital D (atau kadang Δ, delta). Rumus untuk menghitung diskriminan adalah:

D = b² - 4ac

Di mana a, b, dan c adalah koefisien dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0.

Berdasarkan nilai D yang diperoleh, kita dapat mengklasifikasikan sifat akar-akar persamaan kuadrat menjadi tiga kasus utama:

Kasus 1: D > 0 (Diskriminan Positif)

Jika nilai diskriminan lebih besar dari nol (D > 0), maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar real dan berbeda (distinct).

• Secara geometris, ini berarti grafik fungsi kuadrat (parabola) akan memotong sumbu X di dua titik yang berbeda.
• Jika D adalah bilangan kuadrat sempurna (misalnya 1, 4, 9, 16, dst.), maka kedua akar real tersebut adalah rasional.
• Jika D bukan bilangan kuadrat sempurna (misalnya 2, 3, 5, 6, dst.), maka kedua akar real tersebut adalah irasional.

Kasus 2: D = 0 (Diskriminan Nol)

Jika nilai diskriminan sama dengan nol (D = 0), maka persamaan kuadrat tersebut memiliki satu akar real (atau dua akar real yang kembar/sama).

• Secara geometris, ini berarti grafik fungsi kuadrat (parabola) akan menyinggung sumbu X di satu titik saja. Titik ini adalah puncak (vertex) parabola yang berada tepat di sumbu X.

Kasus 3: D < 0 (Diskriminan Negatif)

Jika nilai diskriminan kurang dari nol (D < 0), maka persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki akar real. Sebaliknya, ia memiliki dua akar kompleks (imajiner) yang saling konjugat.

• Secara geometris, ini berarti grafik fungsi kuadrat (parabola) tidak memotong maupun menyinggung sumbu X sama sekali. Parabola akan sepenuhnya berada di atas sumbu X (jika a > 0) atau di bawah sumbu X (jika a < 0).

4. Contoh Soal Aplikasi Diskriminan

Mari kita terapkan pemahaman ini melalui beberapa contoh soal yang bervariasi.

Contoh Soal 1: Menentukan Sifat Akar

Soal: Tentukan sifat akar-akar dari persamaan kuadrat berikut: x² - 5x + 6 = 0

Penyelesaian:

1. Identifikasi nilai a, b, dan c dari persamaan:
   a = 1
b = -5
c = 6
2. Hitung diskriminannya (D = b² - 4ac):
   D = (-5)² - 4(1)(6)
D = 25 - 24
D = 1
3. Analisis nilai D:
   Karena D = 1 dan 1 > 0, maka persamaan x² - 5x + 6 = 0 memiliki dua akar real dan berbeda. (Dalam kasus ini, karena D=1 adalah bilangan kuadrat sempurna, akarnya juga rasional, yaitu x=2 dan x=3).

Contoh Soal 2: Menentukan Sifat Akar (Kasus D=0)

Soal: Tentukan sifat akar-akar dari persamaan kuadrat berikut: 4x² + 12x + 9 = 0

Penyelesaian:

1. Identifikasi a, b, dan c:
   a = 4
b = 12
c = 9
2. Hitung diskriminannya:
   D = (12)² - 4(4)(9)
D = 144 - 144
D = 0
3. Analisis nilai D:
   Karena D = 0, maka persamaan 4x² + 12x + 9 = 0 memiliki satu akar real (atau dua akar real kembar). (Jika diselesaikan, akarnya adalah x = -3/2).

Contoh Soal 3: Menentukan Sifat Akar (Kasus D<0)

Soal: Tentukan sifat akar-akar dari persamaan kuadrat berikut: 2x² - 3x + 5 = 0

Penyelesaian:

1. Identifikasi a, b, dan c:
   a = 2
b = -3
c = 5
2. Hitung diskriminannya:
   D = (-3)² - 4(2)(5)
D = 9 - 40
D = -31
3. Analisis nilai D:
   Karena D = -31 dan -31 < 0, maka persamaan 2x² - 3x + 5 = 0 tidak memiliki akar real (memiliki dua akar kompleks konjugat).

Contoh Soal 4: Menentukan Koefisien Berdasarkan Sifat Akar (D > 0)

Soal: Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat x² + (p-2)x + 9 = 0 memiliki dua akar real yang berbeda.

Penyelesaian:

1. Identifikasi a, b, dan c:
   a = 1
b = (p-2)
c = 9
2. Syarat untuk memiliki dua akar real yang berbeda adalah D > 0.
3. Substitusikan nilai a, b, c ke rumus diskriminan dan terapkan syaratnya:
   D = b² - 4ac > 0
(p-2)² - 4(1)(9) > 0
(p² - 4p + 4) - 36 > 0
p² - 4p - 32 > 0
4. Sekarang kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat p² - 4p - 32 > 0.
   • Cari akar-akar dari p² - 4p - 32 = 0 (dengan memfaktorkan atau rumus ABC):
     (p - 8)(p + 4) = 0
     Jadi, p = 8 atau p = -4.
   • Gunakan garis bilangan untuk menentukan daerah p yang memenuhi p² - 4p - 32 > 0.
     Akar-akarnya adalah -4 dan 8.
     Untuk p² - 4p - 32 > 0, daerah yang memenuhi adalah di luar akar-akar.
     ++++ (-4) ---- (8) ++++
   • Sehingga, nilai p yang memenuhi adalah p < -4 atau p > 8.

Contoh Soal 5: Menentukan Koefisien Berdasarkan Sifat Akar (D = 0)

Soal: Tentukan nilai k agar persamaan kuadrat kx² - 6x + 3 = 0 memiliki satu akar real (akar kembar).

Penyelesaian:

1. Identifikasi a, b, dan c:
   a = k
b = -6
c = 3
2. Syarat untuk memiliki satu akar real (akar kembar) adalah D = 0.
3. Substitusikan nilai a, b, c ke rumus diskriminan dan terapkan syaratnya:
   D = b² - 4ac = 0
(-6)² - 4(k)(3) = 0
36 - 12k = 0
36 = 12k
k = 36 / 12
k = 3
4. Jadi, nilai k agar persamaan memiliki satu akar real adalah k = 3.

Contoh Soal 6: Menentukan Koefisien Berdasarkan Sifat Akar (D < 0)

Soal: Tentukan rentang nilai m agar persamaan kuadrat x² + 4x + (m+1) = 0 tidak memiliki akar real.

Penyelesaian:

1. Identifikasi a, b, dan c:
   a = 1
b = 4
c = (m+1)
2. Syarat agar tidak memiliki akar real adalah D < 0.
3. Substitusikan nilai a, b, c ke rumus diskriminan dan terapkan syaratnya:
   D = b² - 4ac < 0
(4)² - 4(1)(m+1) < 0
16 - 4m - 4 < 0
12 - 4m < 0
-4m < -12
m > -12 / -4 (ingat, membagi atau mengalikan dengan bilangan negatif akan membalik tanda pertidaksamaan)
   m > 3
4. Jadi, rentang nilai m agar persamaan tidak memiliki akar real adalah m > 3.

Contoh Soal 7: Aplikasi Diskriminan untuk Akar Rasional/Irasional

Soal: Tentukan apakah akar-akar persamaan 3x² + 7x + 2 = 0 rasional atau irasional.

Penyelesaian:

1. Identifikasi a, b, dan c:
   a = 3
b = 7
c = 2
2. Hitung diskriminannya:
   D = b² - 4ac
D = (7)² - 4(3)(2)
D = 49 - 24
D = 25
3. Analisis nilai D:
   Karena D = 25 dan 25 adalah bilangan kuadrat sempurna (√25 = 5), maka persamaan 3x² + 7x + 2 = 0 memiliki dua akar real yang rasional. (Faktanya, akarnya adalah x = -1/3 dan x = -2).

Contoh Soal 8: Akar Irasional

Soal: Tentukan apakah akar-akar persamaan x² - 6x + 7 = 0 rasional atau irasional.

Penyelesaian:

1. Identifikasi a, b, dan c:
   a = 1
b = -6
c = 7
2. Hitung diskriminannya:
   D = b² - 4ac
D = (-6)² - 4(1)(7)
D = 36 - 28
D = 8
3. Analisis nilai D:
   Karena D = 8 dan 8 bukan bilangan kuadrat sempurna (√8 adalah bilangan irasional), maka persamaan x² - 6x + 7 = 0 memiliki dua akar real yang irasional.

5. Tips dan Trik dalam Mengerjakan Soal Diskriminan

• Identifikasi Koefisien dengan Tepat: Ini adalah langkah pertama dan paling krusial. Pastikan Anda tidak salah dalam menentukan a, b, dan c, terutama memperhatikan tanda positif atau negatifnya.
• Hati-hati dengan Kuadrat Negatif: Ingat bahwa (-b)² akan selalu menghasilkan nilai positif. Misalnya, (-5)² = 25, bukan -25.
• Periksa Kembali Perhitungan: Diskriminan adalah perhitungan sederhana, tetapi kesalahan aritmetika kecil dapat mengubah seluruh kesimpulan Anda.
• Pahami Konsep, Jangan Hanya Menghafal: Mengerti mengapa D > 0, D = 0, dan D < 0 menghasilkan sifat akar yang berbeda akan membantu Anda mengingat dan menerapkan konsep dengan lebih baik.
• Latihan, Latihan, Latihan: Semakin banyak Anda berlatih berbagai jenis soal, semakin Anda terbiasa dengan pola dan jebakan yang mungkin ada.

Kesimpulan

Diskriminan adalah salah satu konsep paling fundamental dan kuat dalam studi persamaan kuadrat. Dengan hanya menghitung D = b² - 4ac, kita dapat mengungkap "identitas" akar-akar suatu persamaan kuadrat tanpa perlu melalui proses penyelesaian yang lengkap. Ini adalah alat yang sangat efisien dan esensial bagi siswa SMA untuk memahami perilaku grafik fungsi kuadrat serta untuk memecahkan berbagai jenis soal, terutama yang melibatkan penentuan koefisien berdasarkan sifat akar.

Menguasai diskriminan tidak hanya memperkuat pemahaman Anda tentang persamaan kuadrat, tetapi juga membangun fondasi yang kokoh untuk topik matematika yang lebih lanjut. Teruslah berlatih, teruslah bertanya, dan jangan pernah berhenti mengeksplorasi keindahan matematika!