Menguasai Dimensi Tiga: Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap untuk Kelas 12

Geometri dimensi tiga, atau geometri ruang, adalah salah satu materi esensial dalam matematika SMA kelas 12. Konsep ini tidak hanya menguji kemampuan visualisasi spasial Anda, tetapi juga penerapan teorema Pythagoras, trigonometri, dan berbagai sifat bangun ruang. Memahami geometri ruang sangat penting karena aplikasinya ada di mana-mana, mulai dari arsitektur, desain produk, hingga grafika komputer.

Dalam artikel ini, kita akan menjelajahi berbagai jenis soal dimensi tiga yang sering muncul, mulai dari perhitungan jarak (antar titik, titik ke garis, titik ke bidang) hingga penentuan sudut (antara garis dan bidang, antara dua bidang). Setiap soal akan dilengkapi dengan pembahasan langkah demi langkah yang detail, diharapkan dapat membantu Anda memahami konsep dan strategi penyelesaiannya.

Mari kita mulai!

Konsep Dasar dalam Geometri Dimensi Tiga

Sebelum melangkah ke contoh soal, mari kita ingat kembali beberapa elemen dasar dalam geometri ruang:

1. Titik: Representasi posisi tanpa dimensi.
2. Garis: Kumpulan titik yang memanjang tak terbatas dalam satu arah.
3. Bidang: Kumpulan titik yang memanjang tak terbatas dalam dua arah (datar).
4. Bangun Ruang: Objek tiga dimensi yang memiliki volume, seperti kubus, balok, limas, prisma, bola, dan tabung. Dalam soal dimensi tiga, kubus dan balok adalah bangun yang paling sering digunakan karena sifat-sifatnya yang teratur.

Tantangan utama dalam geometri ruang adalah kemampuan untuk memvisualisasikan objek dan hubungan spasialnya. Seringkali, masalah 3D dapat disederhanakan menjadi masalah 2D dengan menggambar penampang atau proyeksi yang tepat.

Contoh Soal dan Pembahasan

Kita akan membahas lima jenis soal yang representatif.

Soal 1: Jarak Antar Titik

Soal:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak titik A ke titik G.

Pembahasan:

1. Pahami Soal dan Visualisasikan:
Soal ini meminta kita mencari panjang diagonal ruang kubus. Titik A adalah salah satu sudut kubus, dan titik G adalah sudut yang berlawanan secara diagonal melewati ruang kubus. Bayangkan sebuah kubus, titik A di bagian "depan bawah kiri" dan titik G di "belakang atas kanan".

2. Strategi Penyelesaian:
Untuk mencari jarak AG, kita bisa menggunakan teorema Pythagoras secara bertahap.

• Langkah 1: Cari jarak AC (diagonal bidang alas).
• Langkah 2: Gunakan jarak AC dan rusuk CG untuk mencari jarak AG.

3. Langkah-langkah Perhitungan:

• Langkah 1: Mencari panjang diagonal bidang AC.
  Perhatikan bidang alas ABCD. Segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di B.

  • Panjang AB (rusuk) = 8 cm.
  • Panjang BC (rusuk) = 8 cm.
    Menurut teorema Pythagoras pada $triangle ABC$:
    $AC^2 = AB^2 + BC^2$
    $AC^2 = 8^2 + 8^2$
    $AC^2 = 64 + 64$
    $AC^2 = 128$
    $AC = sqrt128 = sqrt64 times 2 = 8sqrt2$ cm.

• Langkah 2: Mencari panjang diagonal ruang AG.
  Sekarang, perhatikan segitiga ACG. Segitiga ini adalah segitiga siku-siku di C, karena garis AC terletak di bidang alas dan garis CG tegak lurus dengan bidang alas (dan oleh karena itu, tegak lurus dengan AC).

  • Panjang AC (diagonal bidang) = $8sqrt2$ cm.
  • Panjang CG (rusuk) = 8 cm.
    Menurut teorema Pythagoras pada $triangle ACG$:
    $AG^2 = AC^2 + CG^2$
    $AG^2 = (8sqrt2)^2 + 8^2$
    $AG^2 = 128 + 64$
    $AG^2 = 192$
    $AG = sqrt192$

  Untuk menyederhanakan $sqrt192$:
  $192 = 64 times 3$
  $AG = sqrt64 times 3 = 8sqrt3$ cm.

Kesimpulan:
Jarak titik A ke titik G adalah $8sqrt3$ cm.

Konsep Kunci:

• Diagonal Bidang Kubus: Panjangnya $ssqrt2$, di mana $s$ adalah panjang rusuk.
• Diagonal Ruang Kubus: Panjangnya $ssqrt3$, di mana $s$ adalah panjang rusuk.
  Ini adalah rumus yang sangat berguna dan sering keluar dalam soal kubus.

Soal 2: Jarak Titik ke Garis

Soal:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik B ke garis EG.

Pembahasan:

1. Pahami Soal dan Visualisasikan:
Kita diminta mencari jarak terpendek dari titik B ke garis EG. Jarak terpendek adalah panjang segmen garis yang ditarik dari titik B dan tegak lurus terhadap garis EG. Bayangkan titik B (depan bawah kanan) dan garis EG (diagonal bidang atas dari kiri depan ke kanan belakang).

2. Strategi Penyelesaian:

• Identifikasi sebuah bidang yang mengandung titik B dan garis EG. Tidak ada bidang tunggal yang langsung mengandung keduanya dengan mudah.
• Lebih baik, bentuk sebuah segitiga yang melibatkan titik B dan garis EG, di mana jarak yang dicari adalah tinggi segitiga tersebut. Pertimbangkan segitiga BEG.
• Hitung panjang sisi-sisi segitiga BEG.
• Gunakan rumus luas segitiga ($L = frac12 times textalas times texttinggi$) atau teorema Pythagoras jika ada segitiga siku-siku yang terbentuk.

3. Langkah-langkah Perhitungan:

• Langkah 1: Tentukan jenis segitiga BEG.

  • Panjang BE: BE adalah diagonal bidang ABFE. Panjang rusuk $s = 6$ cm.
    $BE = ssqrt2 = 6sqrt2$ cm.
  • Panjang BG: BG adalah diagonal bidang BCGF.
    $BG = ssqrt2 = 6sqrt2$ cm.
  • Panjang EG: EG adalah diagonal bidang EFGH.
    $EG = ssqrt2 = 6sqrt2$ cm.
    Karena semua sisinya sama panjang ($6sqrt2$ cm), segitiga BEG adalah segitiga sama sisi.

• Langkah 2: Cari jarak dari B ke EG (yaitu tinggi segitiga BEG).
  Misalkan P adalah titik tengah EG. Maka BP adalah tinggi segitiga BEG dari titik B ke sisi EG. Karena BEG adalah segitiga sama sisi, BP akan tegak lurus EG.
  Perhatikan segitiga BPE, yang siku-siku di P.

  • Panjang BE = $6sqrt2$ cm.
  • Panjang EP = $frac12 times EG = frac12 times 6sqrt2 = 3sqrt2$ cm.

  Menggunakan teorema Pythagoras pada $triangle BPE$:
  $BP^2 = BE^2 – EP^2$
  $BP^2 = (6sqrt2)^2 – (3sqrt2)^2$
  $BP^2 = (36 times 2) – (9 times 2)$
  $BP^2 = 72 – 18$
  $BP^2 = 54$
  $BP = sqrt54 = sqrt9 times 6 = 3sqrt6$ cm.

Kesimpulan:
Jarak titik B ke garis EG adalah $3sqrt6$ cm.

Tips Tambahan:
Untuk segitiga sama sisi dengan sisi $a$, tingginya adalah $fracasqrt32$. Dalam kasus ini, $a = 6sqrt2$.
Tinggi = $frac6sqrt2 times sqrt32 = frac6sqrt62 = 3sqrt6$ cm. Hasilnya sama.

Soal 3: Jarak Titik ke Bidang

Soal:
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Tentukan jarak titik A ke bidang BDG.

Pembahasan:

1. Pahami Soal dan Visualisasikan:
Kita diminta mencari jarak terpendek dari titik A (depan bawah kiri) ke bidang BDG (bidang yang dibentuk oleh titik B, D, dan G). Jarak terpendek adalah panjang segmen garis yang ditarik dari A dan tegak lurus terhadap bidang BDG.

2. Strategi Penyelesaian:
Ini adalah salah satu soal klasik dalam geometri ruang. Jarak titik A ke bidang BDG adalah sepertiga dari panjang diagonal ruang AG.
Untuk membuktikannya secara geometris:

• Gambarlah diagonal ruang AG.
• Perhatikan bahwa bidang BDG memotong diagonal ruang AG. Titik potong ini adalah titik O.
• Diagonal ruang AG juga melalui titik C’ (titik pusat bidang BDG). Self-correction: Titik potongnya adalah P, dan P adalah titik berat dari limas A-BDG.
• Diagonal ruang AG akan memotong bidang BDG di suatu titik (misalnya P). Jarak AP adalah yang kita cari.
• Bidang ACGE tegak lurus dengan bidang BDG (dan juga tegak lurus dengan diagonal BD). Garis AG terletak pada bidang ACGE.
• Jarak titik A ke bidang BDG adalah proyeksi titik A ke bidang BDG.

3. Langkah-langkah Perhitungan:

• Langkah 1: Cari panjang diagonal ruang AG.
  Dari Soal 1, kita tahu bahwa panjang diagonal ruang kubus dengan rusuk $s$ adalah $ssqrt3$.
  Jadi, $AG = 12sqrt3$ cm.

• Langkah 2: Pahami hubungan titik A, bidang BDG, dan diagonal ruang AG.
  Bidang BDG memotong diagonal ruang AG pada suatu titik P. Titik P ini adalah titik berat dari limas G-ABD (atau A-BDG).
  Sifat khusus dari kubus adalah, jarak dari sebuah titik sudut ke bidang yang tidak memuat titik tersebut, dan bidang tersebut dibentuk oleh tiga titik sudut lainnya yang membentuk segitiga (seperti BDG), adalah sepertiga dari panjang diagonal ruang yang melalui titik sudut tersebut.
  Jadi, jarak $AP = frac13 AG$.

• Langkah 3: Hitung jarak AP.
  $AP = frac13 times 12sqrt3$
  $AP = 4sqrt3$ cm.

Pembuktian Alternatif (lebih detail):
Perhatikan diagonal ruang AG. Misalkan O adalah titik tengah BD.

• Garis AO terletak di bidang alas ABCD.
• Garis GO terletak di bidang BDG.
• Kedua garis ini (AO dan GO) tegak lurus terhadap BD.
• Bidang ACGE memuat diagonal ruang AG dan memotong bidang BDG sepanjang garis GO.
• Jarak dari A ke bidang BDG adalah panjang segmen garis yang ditarik dari A tegak lurus ke bidang BDG. Misalkan titik proyeksi A pada bidang BDG adalah P. Maka AP adalah jarak yang dicari.
• Perhatikan segitiga siku-siku APE, di mana E adalah titik proyeksi G ke alas. Ini bukan cara yang paling intuitif.

Cara Geometris Lanjutan (untuk memvalidasi 1/3 diagonal):
Misalkan kita ambil proyeksi titik A pada bidang BDG adalah P. Maka AP tegak lurus bidang BDG.
Perhatikan segitiga ACG. Titik O adalah pusat bidang ABCD. Garis GO tegak lurus bidang ABCD (karena G di atas, O di tengah alas).
Jarak titik A ke bidang BDG dapat dicari dengan menggunakan volume limas.
Volume limas A.BDG dapat dihitung dengan dua cara:

1. Alas ABD, tinggi AE. (Ini salah, karena A.BDG bukan limas A.BDG, melainkan G.ABD).
2. Alas BDG, tinggi AP.

Pertimbangkan limas G.ABD.

• Alas adalah segitiga ABD. Luas $triangle ABD = frac12 times AB times AD = frac12 times 12 times 12 = 72 text cm^2$.
• Tinggi limas adalah panjang rusuk GA (tegak lurus bidang ABD), yaitu $12$ cm.
• Volume $V = frac13 times textLuas alas times texttinggi = frac13 times 72 times 12 = 288 text cm^3$.

Sekarang, hitung volume limas G.ABD dengan alas BDG dan tinggi AP.

• Luas segitiga BDG: BD adalah diagonal bidang ($12sqrt2$). Misalkan M adalah titik tengah BD. GM adalah tinggi segitiga sama sisi BDG (karena BD=DG=GB = $12sqrt2$).
  $GM = fracsqrt32 times (12sqrt2) = 6sqrt6$ cm.
  Luas $triangle BDG = frac12 times BD times GM = frac12 times 12sqrt2 times 6sqrt6 = 36sqrt12 = 36 times 2sqrt3 = 72sqrt3 text cm^2$.

• Volume $V = frac13 times textLuas triangle BDG times AP$
  $288 = frac13 times 72sqrt3 times AP$
  $288 = 24sqrt3 times AP$
  $AP = frac28824sqrt3 = frac12sqrt3 = frac12sqrt33 = 4sqrt3$ cm.

Kesimpulan:
Jarak titik A ke bidang BDG adalah $4sqrt3$ cm.

Konsep Kunci:

• Jarak Titik ke Bidang: Selalu tegak lurus terhadap bidang.
• Sifat Khusus Kubus: Jarak dari sudut ke bidang yang dibentuk oleh tiga sudut lain yang tidak memuat sudut tersebut adalah 1/3 dari diagonal ruang yang melewati sudut tersebut. Ini adalah shortcut yang sangat berguna.

Soal 4: Sudut Garis ke Bidang

Soal:
Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk alas 6 cm dan panjang rusuk tegak (sisi miring) 5 cm. Tentukan nilai cosinus sudut antara garis TA dan bidang alas ABCD.

Pembahasan:

1. Pahami Soal dan Visualisasikan:
Kita diminta mencari sudut antara garis TA (rusuk tegak) dan bidang alas ABCD. Sudut antara garis dan bidang didefinisikan sebagai sudut antara garis tersebut dengan proyeksinya pada bidang.

2. Strategi Penyelesaian:

• Cari proyeksi garis TA pada bidang ABCD. Proyeksi titik T pada bidang ABCD adalah titik O (pusat alas). Proyeksi titik A pada bidang ABCD adalah titik A itu sendiri. Jadi, proyeksi garis TA pada bidang ABCD adalah garis AO.
• Sudut yang dicari adalah $angle TAO$.
• Bentuk segitiga siku-siku TAO dan gunakan trigonometri.

3. Langkah-langkah Perhitungan:

• Langkah 1: Tentukan titik proyeksi T.
  Karena T.ABCD adalah limas segiempat beraturan, titik proyeksi T pada bidang alas ABCD adalah titik pusat alas, misalkan O. Titik O adalah perpotongan diagonal AC dan BD.

• Langkah 2: Identifikasi segitiga siku-siku.
  Segitiga TAO adalah segitiga siku-siku di O, karena TO adalah tinggi limas dan tegak lurus dengan bidang alas ABCD (dan oleh karena itu, tegak lurus dengan AO). Sudut yang dicari adalah $angle TAO$.

• Langkah 3: Hitung panjang sisi-sisi yang diperlukan.

  • Panjang rusuk alas (AB) = 6 cm.
  • Panjang rusuk tegak (TA) = 5 cm. (Ini adalah sisi miring $triangle TAO$)
  • Panjang AO: AO adalah setengah dari panjang diagonal alas AC.
    Diagonal alas $AC = sqrtAB^2 + BC^2 = sqrt6^2 + 6^2 = sqrt36 + 36 = sqrt72 =